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Niklas Luhmann hat in seinem Werk die soziologische Systemtheorie zusehends auf ein differenztheoretisches Fundament abgestellt. Dazu referenziert er, wie er in seiner «Einführung in die Systemtheorie» anmerkt, auf «die radikalste Form eines solch differenzialistischen Denkens» (2020: 68). Diese Referenz bezieht sich auf George Spencer-Brown und sein Buch «Laws of Form» (LoF).

In diesem Buch entwickelt Spencer-Brown ein Indikationenkalkül mit dem Anspruch, Mathematik mit einer primären Arithmetik und primären Algebra auf eine gemeinsame Basis abzustellen und unter Verwendung imaginärer Werte mit Gleichungen zweiten Grades zu erweitern. Als Ausgangspunkt seiner Überlegungen wählt er die Operation des Unterscheidens.

Bei der Entwicklung seines Indikationenkalküls schwächt Spencer-Brown die klassischen mathematischen Prämissen derart ab, dass es über die blosse Mathematik hinausreicht. «Spencer-Brown», so Athanasios Karafillidis in seinem Buch «Soziale Formen», «rekonstruiert […] Strukturen, die allen mathematischen, linguistischen, physikalischen und biologischen (und man darf hinzufügen: philosophischen und soziologischen) Formen zugrunde liegen» (2010: 117). Damit hat er ein Kalkül geschaffen, dessen Anziehungs- und Strahlkraft weit über die Mathematik hinausreicht.

Für sein Indikationenkalkül hat Spencer-Brown eine eigene formale Sprache und ein Notationssystem geschaffen, das im Kontext der Systemtheorie von Luhmann übernommen und später insbesondere von Dirk Baecker weiter ausgearbeitet worden ist. Schauen wir uns Sprache und Notation von Spencer-Brown Schritt für Schritt genauer an (Abb. 1).

Zwei-Seiten-Form nach Gorge Spencer-Brown

Unterscheiden
Zu Beginn des zweiten Kapitels der LoF formuliert Spencer-Brown die viel zitierte Anweisung: «Draw a distinction» (2015: 3). Mit dieser Operation entsteht die Unterscheidung der Form. Sie zeichnet sich durch vier Aspekte aus: der Grenze, der Seite links und der Seite rechts der Grenze sowie dem Kontext der Unterscheidung.

Zentral für das Verständnis dieser vier Aspekte ist Spencer-Browns Definition des Begriffs der Unterscheidung: «Distinction is perfect continence» (2015: 1). Diese Definition wird in der Sekundärliteratur als «Unterscheidung ist vollkommener Zusammenhang» (vgl. Varga von Kibéd/Matzka 2016: 58) oder «Trennung ist (sein Gegenteil) Verbindung» (vgl. Schönwälder-Kuntze/Wille 2009: 71) interpretiert.

Diese widersprüchlich anmutende Definition ist gleich in zwei Hinsichten von Bedeutung: Einerseits trennt die Unterscheidung der Form zwei Seiten und weist gleichzeitig auf deren untrennbaren Zusammenhang hin. Andererseits grenzt sich die Form der Unterscheidung von anderen Formen der Unterscheidung ab und verweist damit auf einen kontextuellen Zusammenhang.

Hinweisen
Nach Spencer-Brown besteht ein enger Zusammenhang zwischen Unterscheiden und Hinweisen. Das erste Kapitel der LoF beginnt mit dem Satz: «We take as given the idea of distinction and the idea of indication, and that we cannot make an indication without drawing a distinction» (2015: 1).

Das Hinweisen wird durch einen am senkrechten Strich (Grenze) abzweigenden waagrechten Strich (Hinweis) angezeigt. Dadurch entsteht ein Haken, der die Unterscheidung der Form in eine markierte Innenseite (m) und eine unmarkierte Aussenseite (n) teilt. Jede Unterscheidung erhält so zwei Referenzpunkte (m, n). An dieser Stelle geht es nicht darum, was markiert, sondern dass markiert wird. Es handelt sich zunächst um keine inhaltliche, sondern um eine rein formale Unterscheidung.

Das dergestalt eingeführte Elementarzeichen des Indikationenkalküls, der Haken, hat eine deskriptive (beschreibende) und eine injunktive (auffordernde) Bedeutung. Einerseits markiert der Haken («mark») eine bereits getroffene Unterscheidung. Andererseits fordert der Haken («cross») dazu auf, die Unterscheidung selbst zu treffen.

Diese Doppeldeutigkeit macht deutlich, dass anders als in der klassischen Mathematik, in der zwischen Operanden (Zeichen für Zahlen) und Operator (Zeichen für Rechenoperationen) unterschieden wird, bei Spencer-Brown Operand und Operator in einem einzigen Elementarzeichen zusammenfallen.

Kontextualisieren
Unterscheiden und Hinweisen vollziehen sich immer in einem Kontext. Spencer-Brown spricht in diesem Zusammenhang zunächst von Räumen, Zuständen oder Inhalten (vgl. 2015: 3). Entgegen unserer ersten Intuition fasst er nun nicht bloss die markierte Seite (m) einer Unterscheidung, sondern auch deren unmarkierte Seite (n) als Teil der Form auf: «Call the space cloven by any distinction, togehter with the entire content oft the space, the form of the distincion» (ebd.). Die Unterscheidung der Form transformiert sich also erst durch den Kontext zu einer Form der Unterscheidung.

Die Form der Unterscheidung wiederum markiert ebenfalls eine Grenze innerhalb des Möglichkeitsspielraums anderer Formen der Unterscheidungen. Deshalb kann ihre Aussenseite ebenfalls als unmarkiert (n) ausgezeichnet werden («unwritten cross»). «Die Beobachtung von Formen», so Karafillidis, «ist deshalb nicht abschliessbar und führt zu keinem natürlichen Ende, zu keiner abschliessenden Gewissheit. Unausweichlich wird die unmarkierte Aussenseite immerfort mitgeführt» (2015: 126).

Die Zwei-Seiten-Form markiert also immer drei Seiten: die markierte Innenseite (m) und die unmarkierte Aussenseite (n) der Unterscheidung der Form sowie die unmarkierte Aussenseite der Form der Unterscheidung (n).

Differenzieren
Nachdem Spencer-Brown die Unterscheidung der Form als vollkommenen Zusammenhang definiert hat, erklärt er: «There can be no distiction without motive, and there can be not motive unless contents are seen to differ in value» (2015: 1). Damit führt Spencer-Brown zwei weitere Aspekte des Indikationenkalküls ein, nämlich das Motiv und die Differenz.

Beginnen wir mit dem Motiv. War mit Blick auf den Kontext der Unterscheidung der Form bisher von Räumen, Zuständen oder Inhalten die Rede, fokussiert Spencer-Brown nun auf letztere («contents»). Denn nur wenn die Inhalte einer Unterscheidung als von verschiedenem Wert gesehen werden, besteht ein Beweggrund, eine Unterscheidung zu treffen. Dieser Beweggrund fiele weg, würden die Inhalte von gleichem Wert gesehen.

Es braucht also eine Differenz. Sie bildet die Bedingung der Möglichkeit, auf den Wert eines Inhalts hinzuweisen. Eine Wertdifferenz zu sehen, ist jedoch nur möglich, wenn die unterschiedenen Inhalte auch von Wert sind. Deshalb setzen wir die Variable a für den Wert des Inhalts auf der markierten Seite (m) und die Variable b für den Wert des Inhalts auf der unmarkierten Seite (n). Die Einheit einer Unterscheidung kann also auch als Einheit einer Differenz aufgefasst werden.

Differenz und Unterscheidung führen zu einer eigentümlichen Zirkularität: Einerseits ist die Differenz das Resultat einer Unterscheidung; andererseits ist sie Voraussetzung dafür, eine Unterscheidung zu treffen.

Matthias Varga von Kibéd und Rudolf Matzka halten diesbezüglich in ihrem Beitrag im Buch «Kalkül der Form» fest: «In dieser scheinbaren Zirkularität liegt zugleich eine Andeutung, wie Formentstehung mit Begriffsbildung verbunden ist […]: Wäre vor der Bildung eines Begriffs der durch ihn zu charakterisierende Unterschied schon vollständig gegeben, wäre seine Einführung überflüssig. Wäre allerdings kein Unterschied gegeben, wäre seine Einführung unmöglich. Eine Verschiedenheit [Differenz, Anm. CMS] kann man sich im Sinne der topologischen Metaphern Spencer Browns vielleicht am günstigsten durch eine nicht ganz undurchlässige Grenze vorstellen» (2016: 63).

Schliesslich führt Spencer-Brown noch den Aspekt des Namens ein: «If a content is of value, a name can be taken to indicate this value» (ebd.). Der Indikationenkalkül sieht zwei Möglichkeiten vor, einen Namen zu verwenden, um auf den Wert eines Inhalts hinzuweisen: mal mit der Nennung eines Namens («calling of the name»), mal durch die Absicht zur Überquerung der Grenze («crossing of the boundary»).

Hinsichtlich der ersten Möglichkeit gilt: Die Nennung des Namens kann mit dem Wert des Inhalts identifiziert werden. Das heisst an unserem Beispiel, mit der Nennung des Namens a kann auf die Variable a hingewiesen werden. Es ist leicht zu sehen, dass in diesem Fall die deskriptive Bedeutung des oben eingeführten Hakens als «mark» zum Tragen kommt. Eine solche Markierung bezeichnet einen Unterschied, macht ihn aber nicht.

Vor dem Hintergrund dieser Setzung formuliert Spencer-Brown das 1. Axiom («The Law of calling») des Indikationenkalküls: «The value of a call made again is the value of the call» (2015: 2). Das bedeutet, dass sich der Wert des Namens – und damit der Wert des Inhalts – bei wiederholter Nennung des Namens nicht ändert («to recall is to call»).

Bemerkenswert am 1. Axiom ist, dass bei der wiederholten Nennung des Namens der Informationsgehalt der Differenz und damit auch der Motivlage gleich bleibt. Spencer-Brown schafft damit die Grundlage für die sogenannte Gedächtnisfunktion formaler Systeme.

Hinsichtlich der zweiten Möglichkeit gilt: Mit der Überquerung der Grenze der Unterscheidung kann der Wert des Inhalts identifiziert werden. Das heisst an unserem Beispiel, mit dem Übergang von der unmarkierten Seite (n) zur markierten Seite (m) wird auf die Variable a hingewiesen. In diesem Fall kommt die injunitive Bedeutung des Hakens («cross») zum Tragen. Eine solche Aufforderung zur Überquerung macht einen Unterschied, ist im Moment des Unterscheidens aber nicht markierbar.

In seinem Büchlein «Wozu Kultur?» notiert Dirk Baecker dazu: «Man kann eine Unterscheidung also entweder verwenden, dann kann man sie selbst jedoch nicht uno acto beobachten, oder beobachten, dann verwendet man sie jedoch nicht (sondern muss zu ihrer Beobachtung eine andere, im Moment unbeobachtbare Unterscheidung voraussetzen)» (vgl. 2003:127).

Vor dem Hintergrund dieser Setzung formuliert Spencer-Brown das 2. Axiom («The Law of crossing»): «The value of a crossing made again is not the value of the crossing» (ebd). Das bedeutet, dass mit der ersten Überquerung der Grenze, von der unmarkierten zur markierten Seite, zwar der Wert der Überquerung – und damit der Wert eines Inhaltes – identifiziert wird. Das Axiom besagt nun, dass sich bei einer erneuten Überquerung, diesmal von der markierten zur unmarkierten Seite, der Wert der Überquerung – und damit der Wert des Inhaltes – verändert («recross is not to cross»).

Das erneute Überqueren der Grenze hat also zwei Folgen: Einerseits wird der mit der ersten Überquerung («cross») identifizierte Wert des Inhaltes aufgehoben bzw. entwertet; andererseits wird mit der erneuten Überquerung («recross») der Wert des Inhalts auf der anderen Seite identifiziert.

Bemerkenswert am 2. Axiom ist, wenn eine Absicht zur Überquerung und dann eine Absicht zur Rücküberquerung besteht, dann entspricht der Wert der beiden Absichten zusammengenommen weder dem Wert des Inhalts auf der einen noch auf der anderen Seite. Diese Eigenheit wird im Zusammenhang mit dem Wiedereinführen nochmals aufgegriffen.

Wiedereinführen
In den letzten zwei Kapiteln der LoF führt Spencer-Brown die Wiedereinführung («re-entry») ein. Sie steht für eine Operation, die die Unterscheidung in das Unterschiedene wieder einführt. Im Notationssystem der LoF wird die Wiedereinführung mit einem umgekehrten Haken dargestellt, der die markierte Aussenseite der Form der Unterscheidung in die Innenseite der Unterscheidung der Form zurückführt.

Der «re-etnry» ist der meist diskutierte Begriff der LoF. Dies hat nicht zuletzt damit zu tun, dass Struktur und Dynamik der so bezeichneten Operationen eine gewisse Ähnlichkeit mit anderen Begriffen haben. Dazu zählen etwa: «Resonanz», «Feedback», «Rückkopplung», «Reflexivität», «Selbstreferenz», «Rekursion», «Zirkularität» u.a. Katrin Wille erinnert daran, dass Spencer-Brown an manchen Stellen auf eine «Familienähnlichkeit» zwischen diesen Begriffen und dem «re-entry» hinweist (vgl. 2009: 191). In den LoF indes demonstriert er die Operation der Wiedereinführung anhand der Erweiterung seiner primären Arithmetik.

Im Kapitel über Gleichen zweiten Grades formt Spencer-Brown einen Ausgangsausdruck in fünf Schritten so um, dass der Ausgangsausdruck verdoppelt und nach weiteren fünf Schritten verdreifacht wird (vgl. 2015: 45f). Da sich die Konstruktionsanweisung mit den fünf Umformungsschritten beliebig wiederholen lässt, lässt sich auch der Ausgangsausdruck beliebig verlängern. Die dergestalt durchgeführte Wiedereinführung transformiert Gleichungen ersten in Gleichungen zweiten Grades.

Die Möglichkeit, einen Ausgangsausdruck beliebig zu verlängern, verletzt allerdings eine zentrale Regel der Algebra. Diese besagt, dass eine Gleichung nur aus endlichen Umformungsschritten bestehen darf, da ihr Wert ansonsten nicht bestimmt werden kann. Wie also lässt sich der Wert von Gleichungen zweiten Grades bestimmen?

Die Antwort liegt nach Spencer-Brown in der Möglichkeit, die verschiedenen Fälle der Wertbelegungen an den Gleichungen ersten und zweiten Grades durchzuspielen und miteinander zu vergleichen. Interpretieren wir eine Zwei-Seiten-Form ohne Wiedereinführung als Gleichung ersten Grades, dann sehen die verschiedenen Wertbelegungen wie folgt aus:

  1. Ist die Innenseite der Unterscheidung markiert (m) und die Aussenseite der Unterscheidung unmarkiert (n), dann ist der Wert der Gleichung markiert (m).
  2. Ist die Innen- und Aussenseite der Unterscheidung markiert (m), dann ist der Wert der Gleichung unmarkiert (n).
  3. Ist die Innenseite der Unterscheidung unmarkiert (n) und die Aussenseite der Unterscheidung markiert (m), dann ist der Wert der Gleichung unmarkiert (n).
  4. Ist die Innen- und Aussenseite der Unterscheidung unmarkiert (n), dann ist der Wert der Gleichung entweder unmarkiert (n) oder markiert (m).

Es fällt auf, dass bei einer Gleichung ersten Grades eine Wertbelegung vorkommen kann, die die Gleichung unbestimmbar macht. Im vierten Fall ist der Wert der Gleichung entweder unmarkiert (n) oder markiert (m).

Hinsichtlich einer Gleichung zweiten Grades – wir interpretieren sie als Zwei-Seiten-Formen mit Wiedereinführung – unterscheidet Spencer-Brown zwischen zwei Typen von Gleichungen.

Beim ersten Typ von Gleichungen zweiten Grades handelt es sich um selbstbestätigende bzw. tautologische Gleichungen. Die Wiedereinführung kann hier als positive Rückkopplung aufgefasst werden. Diese Gleichungen sind Gleichungen ersten Grades insofern ähnlich, als ihre Werte im vierten Fall ebenfalls entweder unmarkiert (n) oder markiert (m) sind.

Beim zweiten Typ von Gleichungen zweiten Grades handelt es sich um selbstverneinende bzw. paradoxe Gleichungen. Die Wiedereinführung kann hier als negative Rückkopplung aufgefasst werden. Diese Gleichungen unterscheiden sich von Gleichungen ersten Grades insofern, als ihre Werte im vierten Fall sowohl unmarkiert (n) als auch markiert (m) sind. Dies führt zu widersprüchlichen Ergebnissen (m=n oder n=m).

Mit Blick auf Zweit-Seiten-Form können wir also festhalten, dass die Wiedereinführung der Unterscheidung in das Unterschiedene zu einer Paradoxie führen kann: Das Markierte ist das Unmarkierte und umgekehrt ist das Unmarkierte das Markierte.

Um diese Paradoxie zu entfalten, führt Spencer-Brown neben der Dimension des Raums (Formen) die Dimension der Zeit in den Indikationenkalkül ein. Denn im Unterschied zum Treffen einer Unterscheidung, was wir als ein Ereignis auffassen können, handelt es sich bei der Wiedereinführung um einen Prozess, der Zeit in Anspruch nimmt. Spencer-Brown selbst vergleicht diesen Prozess mit der Durchquerung eines Tunnels, das von der einen Seite auf die andere Seite der Grenze der Unterscheidung führt (vgl. 2015: 48f).

Damit etabliert Spencer-Brown neben dem markierten und unmarkierten einen dritten Zustand, den imaginären Zustand. Er hebt die getroffene Unterscheidung innerhalb der Form insofern auf, als mit der Durchquerung des Tunnels ein Hin und Her zwischen den zwei Seiten möglich ist, ohne die ursprünglich getroffene Unterscheidung nachvollziehen zu müssen. Weil aber zwischen den zwei Seiten der getroffenen Unterscheidung ein untrennbarer Zusammenhang besteht, findet bei der Durchquerung des Tunnels jeweils gleichzeitig ein Wertwechsel statt.

Erst jetzt wird verständlich, weshalb Spencer-Brown im Zusammenhang mit dem 2. Axiom postuliert hat, dass wenn eine Absicht zur Überquerung und dann eine Absicht zur Rücküberquerung bestehe, der Wert der beiden Absichten zusammengenommen weder dem Wert des Inhalts auf der einen Seite (a) noch dem Wert des Inhalts auf der anderen Seite (b) entspreche.

In Abhängigkeit der Länge des Tunnels und der Geschwindigkeit bei dessen Durchquerung beginnt im imaginären Zustand die Unterscheidung zwischen ihren Werten (a, b) zu oszillieren. Damit verhindert Spencer-Brown einen Zusammenstoss zwischen gleichzeitig markierten und unmarkierten Werten und etabliert so ein stabiles System, das seine eigene Zeit generiert.

Die Oszillation ist eine typische Funktion von Gleichungen zweiten Grades des Typs paradoxe Gleichung. Sie löst Gleichungen bzw. Formen nicht als Kontradiktionen auf, sondern wechselt in Abhängigkeit der Zeit zwischen verschiedenen Aussagewerten (a, b, a, b, usw.) Demgegenüber weist Spencer-Brown Gleichungen zweiten Grades des Typs tautologische Gleichung eine Gedächtnisfunktion zu. Diese Gleichungen bzw. Formen führen über die Zeit hinweg zu den immer wieder gleichen Aussagewerten (a oder b).

Formalisieren
Das Gleichheitszeichen, das in der klassischen Mathematik zwischen zwei wertgleichen Ausdrücken steht, verändert im Indikationenkalkül seine Bedeutung. Spencer-Brown schreibt im zweiten Kapitel der LoF: «Call expressions oft he same value equivalent» (2015: 4).

Im Indikationenkalkül steht das Zeichen also nicht für eine Identität zwischen zwei wertgleichen Ausdrücken, sondern für eine Äquivalenz derselben: Das, was in Abb. 1 auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht, gleicht dem Wert nach dem, was auf der linken Seite steht. Die Ausdrücke auf der rechten und linken Seite der Gleichung sind aber offensichtlich nicht identisch.

Mit der Einführung der Äquivalenz ist die Voraussetzung dafür geschaffen, die Form der Unterscheidung in eine formale Sprache zu übersetzen. So ist der mit der Überquerung der Grenze («crossing») identifizierte Wert des Inhalts (Variable a) in der markierten Seite der Unterscheidung auf der rechten Seite der Gleichung äquivalent mit dem durch die Nennung des Namens («calling») identifizierten Wert (a) auf der linken Seit der Gleichung.

Oder: Der mit dem erneuten Überqueren der Grenze («recrossing») identifizierte Wert des Inhalts (Variable b) in der unmarkierten Seite der Unterscheidung auf der rechten Seite der Gleichung ist äquivalent mit dem durch die Nennung des Namens («calling») identifizierten Wert (b) auf der linken Seite der Gleichung.

Wir sehen an diesen Beispielen, dass Gleichungen immer von rechts nach links gelesen werden. Auf der rechten Seite steht der bestimmende und auf der linken Seite der zu bestimmende Wert der Gleichung.

* * *

Wir haben bis hierher versucht, die formale Sprache und das Notationssystem des Indikationenkalküls von Spencer-Brown nachzuvollziehen. Mit Fokus auf die Zwei-Seiten-Form haben wir dabei die primäre Arithmetik und Algebra weitgehend ausser Acht gelassen.

Vielmehr geht es an dieser Stelle darum, Bezugspunkte zwischen den LoF und der soziologischen Systemtheorie aufzuzeigen. Dabei fällt auf, dass sich Luhmann in erster Linie auf die basale Operation des Unterscheidens und die Zwei-Seiten-Form bezieht, während Baecker mit seinen «Katjekten» mit ineinander geschachtelten Unterscheidungen arbeiten (vgl. Baecker 2021).

Die vermeintliche Einverleibung des differenztheoretischen Ansatzes von Spencer-Brown in die Systemtheorie wird nicht unkritisch kommentiert. So kommen Peter Fuchs und Franz Hoegl in ihrem Aufsatz «Die Schrift der Form» zum Schluss, dass «Luhmann die Laws of Form als Thesaurus für brauchbare Metaphern nutzt und nicht: als Kalkül, nicht als Möglichkeit, soziologische Theorie zu formalisieren» (2015: 31).

Boris Hennig hat sich in seinem Aufsatz «Luhmann und die Formale Mathematik» die Mühe gemacht, die Fussnoten bezüglich Spencer-Brown in Luhmanns Werk mit den LoF zu vergleichen. Sein Fazit: «Das meiste nämlich, was Luhmann den Laws of form angeblich entnimmt, steht auf den zweiten Blick gar nicht darin» (2000: 157).

Vermutlich ging es Luhmann weniger darum, Spencer-Brown korrekt zu interpretieren und konsistent in sein Theoriegebäude zu integrieren. Vermutlich ging es ihm mehr darum, die Systemtheorie auf ein differenztheoretisches Fundament abzustellen und sich dabei der Sprache und des Notationssystems von Spencer-Brown zu bedienen, um sich selbst vom Resultaten überraschen zu lassen. «Man publiziert», hielt Luhmann einst fest, «nicht um zu belehren, sondern um beobachtet zu werden.» Und – möchte man hinzufügen – um sich selbst zu beobachten.

Um die Bedeutung der basalen Operation des Unterscheidens besser zu verstehen, müssen wir mit dem Sinn und dem Beobachter zwei weitere Grundkonzepte der Systemtheorie skizzieren.

Sinn ist nach Niklas Luhmann das Universalmedium, in dem psychische Systeme mittels Gedanken und soziale Systeme mittels Kommunikation gemeinsam operieren. Damit ist noch nicht viel darüber gesagt, was sind ist, wie er produziert wird, wozu er dient und wie weit er reicht.

Um diese Aspekte zu beleuchten, bedient sich Luhmann verschiedener Theorien, die im Folgenden kurz skizziert werden sollen.

Sinn als Medium und Form
Im Anschluss an Fritz Heiders Untersuchungen über Wahrnehmungsmedien hat Luhmann mit Blick auf Kommunikationsmedien die Unterscheidung von Medium und Form eingeführt.

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