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Niklas Luhmann hat in seinem Werk die soziologische Systemtheorie auf ein differenztheoretisches Fundament abgestellt. Dazu hat er sich, wie er in seiner «Einführung in die Systemtheorie» bemerkt, «die radikalste Form eines solchen differenzialistischen Denkens» (2020: 68) zu Eigen gemacht und als Formalismus in die Systemtheorie eingeführt. Die Rede ist von George Spencer-Browns «Laws of Form».

In seinem Buch hat Spencer-Brown ein Formkalkül mit dem Anspruch entwickelt, mit einer primären Arithmetik und primären Algebra die klassische Mathematik auf eine gemeinsame Basis zu stellen und unter Verwendung imaginärer Werte mit Gleichungen höheren Grades zu erweitern. Dazu verwendet er nicht mehr als einen einzigen Operator.

In seiner Arbeit schwächt Spencer-Brown die gängigen mathematischen Prämissen derart ab, dass sein Formkalkül über die blosse Mathematik hinausreicht. «Spencer-Brown», so Athanasios Karafillidis in seinem Buch «Soziale Formen», «rekonstruiert vielmehr Strukturen, die allen mathematischen, linguistischen, physikalischen und biologischen (und man darf hinzufügen: philosophischen und soziologischen) Formen zugrunde liegen» (2010: 117). Damit hat er eine Grundlage geschaffen, deren Anziehungs- und Strahlkraft weit über die Mathematik hinausreicht.

Für sein Formkalkül hat Spencer-Brown ein eigentümliches Notationssystem entwickelt, das Luhmann übernommen hat und später von Dirk Baecker u.a. Systemtheoretikern weiter ausgearbeitet worden ist. Schauen wir uns das Notationssystem näher an (Abb. 1).

Zwei-Seiten-Form nach Gorge Spencer-Brown

Unterscheidung
Zu Beginn des zweiten Kapitels der «Laws of Form» formuliert Spencer-Brown die viel zitierte Anweisung: «Draw a distinction» (2015: 3). Mit dem Treffen einer Unterscheidung entfaltet sich die Form einer Unterscheidung. Sie zeichnet sich durch vier Aspekte aus: der Grenze, der Seite links und der Seite rechts von der Grenze sowie dem Kontext der Unterscheidung.

Zentral für das Verständnis dieser vier Aspekte ist Spencer-Browns Definition des Begriffs der Unterscheidung: «Distinction is perfect continence» (2015: 1). Die Definition lässt sich interpretieren und übersetzen als «Trennung ist Verbindung» (vgl. Schönwälder-Kuntze/Wille 2009: 71). Diese widersprüchlich anmutende Definition ist gleich in zwei Hinsichten von Bedeutung: Einerseits trennt die Grenze zwei Seiten, um auf deren untrennbaren Zusammenhang hinzuweisen. Andererseits grenzt sich die Unterscheidung als Form von anderen Formen der Unterscheidung ab und verweist damit auf den kontextuellen Zusammenhang.

Im Sinne der Unterscheidung zwischen Medium und Form könnte man sagen, dass zwischen den beiden Seiten der Unterscheidung eine strikte Kopplung (Form) und zwischen den Formen der Unterscheidung eine lose Kopplung (Medium) besteht.

Bezeichnung
Nach Spencer-Brown besteht ein enger Zusammenhang zwischen Unterscheiden und Bezeichnen. Das erste Kapitel der «Laws of Form» beginnt er mit dem Satz: «We take as given the idea of distinction and the idea of indication, and that we cannot make an indication without drawing a distinction» (2015: 1). Schönwälder-Kuntze und Wille weisen in ihrer Einführung in die «Laws of Form» darauf hin, dass Spencer-Brown die Art der Beziehung zwischen Unterscheiden und Bezeichnen nicht eindeutig bestimmt (vgl. 2009: 66). Mal differenziert er in seinen Ausführungen zwischen den zwei Operationen, weil das Bezeichnen eine Unterscheidung voraussetzt. Mal hebt er diese Differenz auf, indem er Unterscheiden und Bezeichnen als zwei Aspekte einer einzigen Operation auffasst.

Die Bezeichnung jedenfalls wird durch einen am senkrechten Strich (Grenze) abzweigenden waagrechten Strich angezeigt. Dadurch entsteht ein Haken, der die Unterscheidung in eine markierte Innenseite (m) und eine unmarkierte Aussenseite (n) teilt. Jede Unterscheidung erhält so zwei Referenzpunkte (m, n). Wichtig an dieser Stelle ist, dass es nicht darum geht, was mit der Bezeichnung markiert, sondern dass eine Seite markiert wird. Es handelt sich zunächst um keine inhaltliche, sondern um eine rein formale Unterscheidung.

Der so eingeführte Haken («cross») hat im Formkalkül eine doppelte Bedeutung: Einerseits steht er für ein Zeichen («mark»), das eine getroffene Unterscheidung markiert. Andererseits steht er für die Aufforderung («crossing»), diese Unterscheidung selbst zu treffen bzw. nachzuvollziehen. Diese Doppeldeutigkeit macht ersichtlich, dass im Unterschied zur klassischen Mathematik, in der zwischen Operanden (Zeichen für Zahlen) und Operator (Zeichen für Rechenoperationen) differenziert wird, bei Spencer-Brown Operand und Operator in einem elementaren Zeichen zusammenfallen. In diesem Zusammenfallen erhält das Formkalkül eine für seine primäre Logik typische selbstreferenzielle Struktur: Der Haken bzw. das «cross» ist ein Zeichen, auf das eine Operation angewandt werden kann, und ein Zeichen zugleich, das zur Anwendung dieser Operation auffordert.

Kontextualisierung
Unterscheiden und Bezeichnen ereignet sich immer in einem Raum. Die Unterscheidung spaltet den Raum in zwei Seiten. Die dergestalt hervorgebrachten Teile des Raums nennt Spencer-Brown zunächst Räume, Zustände oder Inhalte (vgl. 2015: 3). Er verzichtet darauf, den Raum bzw. die Teile des Raums inhaltlich zu qualifizieren. Wie bereits erwähnt, geht es an dieser Stelle nur darum, dass unterschieden wird.

Mit dem Bezeichnen wird der eine Teil des Raums bzw. die eine Seite der Unterscheidung markiert. Entgegen unserer Intuition fasst Spencer-Brown nicht bloss die markierte Seite (m), sondern die markierte Seite (m) im Kontext der unmarkierten Seite (n) als Form auf: «Call the space cloven by any distinction, togehter with the entire content oft he space, the form of the distincion» (ebd.). Die mit dem Haken («cross») ausgezeichnete Form der Unterscheidung besteht also immer aus einer markierten Seite (m) und einer unmarkierten Seite (n).

Eine Unterscheidung, das haben wir bereits gesehen, verweist immer auch auf den untrennbaren Zusammenhang der zwei Seiten. Sie bildet die Einheit einer Differenz und markiert als solche eine Grenze innerhalb des Möglichkeitsspielraums anderer Unterscheidungen. Im Kontext anderer Unterscheidungsmöglichkeiten kann die getroffene Unterscheidung als markierte Form der Unterscheidung relativ zu unmarkierten Formen der Unterscheidung aufgefasst werden. Deshalb wird auch die Aussenseite der getroffenen Unterscheidung als unmarkiert ausgezeichnet. «Die Beobachtung von Formen», so Karafillidis, «ist deshalb nicht abschliessbar und führt zu keinem natürlichen Ende, zu keiner abschliessenden Gewissheit. Unausweichlich wird die unmarkierte Aussenseite immerfort mitgeführt» (2015: 126).

Die Zwei-Seiten-Form markiert also drei Seiten mit einem einzigen Operator: die markierte Innenseite (m) und die unmarkierte Aussenseite (n) der Unterscheidung sowie die unmarkierte Aussenseite der Form der Unterscheidung (n). Diese bedeutet, die Form der Unterscheidung ist immer Inhalt (Bezeichnetes) und Kontext (Unbezeichnetes).

Wiedereinführung
In den letzten zwei Kapiteln der «Laws of Form» führt Spencer-Brown die Wiedereinführung («re-entry») ein. Diese selbstreferentielle Operation ist nicht ganz einfach nachzuvollziehen. Spencer-Brown diskutiert sie anhand der Gleichungen zweiten Grades und der Formen in der Form.

Die Wiedereinführung der Unterscheidung in das durch die Form Unterschiedene wird signalisiert, indem die markierte Aussenseite der getroffenen Unterscheidung mit einem umgekehrten Haken («cross») in die Innenseite der Unterscheidung zurückgeführt wird. Damit wird zwar nicht die Form; aber doch die Grenze der getroffenen Unterscheidung temporär aufgehoben. Dies führt zu zwei unterschiedlichen Fällen der Selbstreferenz, nämlich Selbstbestätigung (Tautologie) oder Selbstverneinung (Paradoxie).

Im Falle der Tautologie haben wir es insofern mit einer Selbstbestätigung zu tun, als im Kontext anderer Unterscheidungsmöglichkeiten die Wiedereinführung die getroffene Unterscheidung verifiziert. Mit Blick auf die klassische Logik könnten wir sagen, dass die Wiedereinführung als eine Gleichung ersten Grades aufzufassen ist, deren Aussagewert «wahr» (m=m und n=n) ist.

Im Falle der Paradoxie haben wir es insofern mit einer Selbstverneinung zu tun, als im Kontext anderer Unterscheidungsmöglichkeiten die Wiedereinführung die getroffene Unterscheidung falsifiziert. Die Wiedereinführung ist dann als Gleichung ersten Grades aufzufassen, deren Aussagewert «falsch» (m=n oder n=m) ist.

Um den Fall der Paradoxie handhabbar zu machen, führt Spencer-Brown neben der Dimension des Raums die Dimension der Zeit ins Formkalkül ein. Im Unterschied zur Unterscheidung selbst, die wir als ein Ereignis auffassen können, handelt es sich bei der Wiedereinführung um einen Prozess, der Zeit in Anspruch nimmt. Spencer-Brown vergleicht diesen Prozess mit der Durchquerung eines Tunnels (vgl. 2015: 48f). Es ermöglicht, von der einen Seite auf die andere Seite der Grenze einer Unterscheidung zu gelangen, ohne die Grenze überschreiten zu müssen. Damit etabliert Spencer-Brown einen imaginären Zustand, der die getroffene Unterscheidung innerhalbe der Form aufhebt und ein Hin und Her zwischen den zwei Seiten erlaubt, ohne die ursprünglich getroffene Unterscheidung nachvollziehen zu müssen («crossing»).

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